Rabu, 13 Agustus 2014

Metode BIG M

Metode Big M digunakan untuk menyelesaikan fungsi-fungsi dalam program linier yang tidak berada dalam bentuk baku atau standar  ( bentuk standar adalah memaksimalkan Z sesuai dengan kendala fungsional dalam bentuk  ≤ dan kendala nonegativitas di semua variabel) dan salah satu contoh masalah dalam kendala funsional adalah bila fungsi dalam bentuk-bentuk = atau ≥ atau bahkan ruas kanan yang negatif.
Masalah ini akan muncul bila kita akan mencari basis fesibel awal sehingga sebelum mencari variabel apa yang akan menjadi variabel nonbasis bahkan basis perlu dilakukan suatu teknik pendekatan khusus untuk mengubah fungsi tersebut ke bentuk baku atau standar. Teknik pendekatan khusus tersebut dengan cara menambahkan variabel dummy (variabel artifisial) pada kendala fungsional dan teknik ini disebut dengan teknik variabel artifisial.
Ada pun prosedur mendapatkan BF awal pada kendala fungsional adalah
  1. Gunakan teknik variabel artifisial
Tambahkan variabel artifisal nonegatif pada fungsi kendala yang belum baku, dan anggaplah variabel artifial tersebut sebagai salah satu variabel slack
  1. Tugaskan pinalty yang besar
Berilah nilai variabel artifisial dengan nilai > 0 sehingga koefisien variabel artifisial menjadi M (big m) secara simbolik yang menunjukkan bahwa variabel artifisial tersebut memiliki angka positif raksasa ( dan pengubahan atas variabel artifisial bernilai 0 (variabel nonbasis) dalam solusi optimal disebut metode big m).

Contoh  =  Min  Z  =  4 X1 +  X2     
                   Kendala     3 X1 +  X2     =  3
                                     4 X1 + 3 X2    ³  6
                                     X1 + 2 X2     £  4
                                          X1 , X2    ³  0
è Bentuk standar
                  Min  Z  =  4 X1 +  X2     
                   Kendala     3 X1 +  X2                   =  3                      ......... ( 1 )
                                     4 X1 + 3 X2  - X3  =  6                    ......... ( 2 )
                                     X1 + 2 X2    + X4  =  4
                                     X1 , X2 ,  X3 , X4    ³  0
Karena ( 1 ) dan ( 2 ) tidak memiliki var slack , maka ditambahkan R1 dan R2 sebagai var bantuan
              ( 1 )          3 X1 +  X2             +   R1   =  3
              ( 2 )          4 X1 + 3 X2  - X3 - R2  =  6

Ø  Pada fungsi tujuan berikan koefisien M > 0, untuk R1 dan R2 ; sehingga :   
                  Min  Z  =  4 X1 +  X2   + MR1 + MR2
                   Kendala     3 X1 +  X2                  + R1                                       =  3
                                   4 X1 + 3 X2  - X3                   - R2                     =  6
                                                X1 + 2 X2                                                 + X4     =  4
                                                    X1 , X2 ,  X3 , R1 , R2 , X4    ³  0

Ø  Subtitusikan R1 dan R2 ke fungsi tujuan  :
      R1  =  3  -  3 X1  -   X2
      R2    =  6  -  4 X1  -   3 X2   +  X3
      Maka :
          Z  =  4 X1 +  X2   + M(3  -  3 X1  -   X2) + M(6  -  4 X1  -   3 X2   +  X3)
               =  ( 4 - 7M ) X1  +  ( 1 – 4M ) X2  +  M X3  +  9M
      Persamaan Z dalam tabel :
          Z  +  ( 7M - 4 ) X1  +  ( 4M - 1 ) X2  -  M X3  =  9M

Ø  Solusi dasar awal ; X1 = 0, X2  = 0,  X3  = 0        ->  Z  =  9M
Sehingga      X1 , X2 ,  X3   var non basis

Tabel Metode Big M
Iterasi 0 (awal) X1  (paling + ) R1 Keluar
Basis
X1
X2
X3
R1
R2
X4
Solusi

Z
(7M – 4)
(4M – 1)
-M
0
0
0
9M

R1
3
1
0
1
0
0
3
3/3 = 1
R2
4
3
-1
0
1
0
6
6/4
X4
1
2
0
0
0
1
4
4/1
( 1 ) X2 masuk R2 keluar
Z
0
(1+5M)/3
-M
(4-7M)/3
0
0
4+2M

X1
1
1/3
0
1/3
0
0
1
1/(1/3)= 3
R2
0
5/3
-1
-4/3
1
0
2
2/(5/3)=6/5
X4
0
5/3
0
-1/3
0
1
3
8/5
( 2 ) X3 masuk X4 keluar
Z
0
0
1/5
(8/3-M)
(-1/5-M)
0
18/3

X1
1
0
1/5
3/5
-1/5
0
3/5
3
X2
0
1
-3/5
-4/5
3/5
0
6/5

X4
0
0
1
1
-1
1
1
1
( 3 )
(optimum)
Z
0
0
0
7/3-M
-M
-1/5
17/5

X1
1
0
0
2/5
0
-1/5
2/5

X2
0
1
0
-1/5
0
3/5
9/5

X3
0
0
1
1
-1
1
1

Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Label:

Metode 2 Fase

Dalam menyelesaiakan suatu persoalan dimana variabelnya lebih dari dua, juga menggunakan suatu metode yang bertahap. Metode ini disebut sebagai metode dua phase.
Pada dasarnya Metode dua fase (phase) sama seperti metode big M yang juga digunakan untuk menyelesaikan persoalan pemrograman linier yang memiliki bentuk yang tidak standar.  Berikut ini adalah prosedur menggunakan metode dua fase.
1.    Inisialisasi
Menambahkan variabel-variabel artifisal pada fungsi kendala yang memiliki bentuk tidak standar. Variabel artificial ini ditambahkan pada fungsi batasan yang pada mulanya memiliki tanda (³). Hal ini digunakan agar dapat mencari solusi basic fesibel awal.
2.    Fase 1
Digunakan untuk mencari basic fesibel awal.  Pada fase 1 memiliki langkah-langkah dimana tujuannya adalahm meminimalkan variabel artifisial ( Min Y= Xa)
s.t : Ax = b
           X = 0
Pada fase pertama bertujuan untuk memperoleh penyelesaian yang optimum dari suatu permasalahan. Pada fase pertama fungsi tujuan selalu minimum variabel artificial, meskipun permasalahan yang ada adalah permasalahan yang maksimum. Dalam meyelesaiakan pada fase pertama, yaitu membuat nilai nol dulu pada variabel artifisial, kemudian melanjutkan iterasi seperti proses iterasi biasanya(dengan aturan meminimumkan). Berhenti ketika pada baris ke-0 bernilai £ 0.
Fase pertama dianggap telah selesai atau memperoleh penyelesaian yang optimal adalah apabila variabel artifisial adalah merupakan variabel basis. Sedangkan apabila variabel artifisial adalah variabel non basis, maka masalah dianggap tidak mempunyai penyelesaian yang optimal, sehingga harus dilanjutkan ke fase yang kedua.
Pada fase kedua, tujuannya sama seperti fase pertama, yaitu untuk mendapatkan penyelesaian yang optimal dari suatu permasalahan yang ada. Fase dua berhenti sesuai dengan tujuan awal permasalahan.
3.    Fase 2
Digunakan untuk mencari solusi optimum pada permasalahan riil. Karena variabel artifisial bukan merupakan termasuk variabel dalam permasalahan riil, variabel artifisial tersebut dapat dihilangkan ( Xa=0). Bermula dari solusi BF yang didapatkan dari akhir fase 1. Pada fase 2 ini memiliki langkah-langkah sebagai berikut:
1.    Fungsi tujuan bisa memaksimalkan dan juga bisa meminimalkan tergantung pada permasalahan yang dihadapi.
2.    Menggunakan fungsi batasan (s.t) dari fase 1, melakukan proses iterasi seperti biasanya dan berhenti sesuai funsi obyektif awal
Contoh persoalan:

Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persoalan PL yang memuat variabel buatan
      Contoh  =  Min  Z  =  4 X1 +  X2     
                   Kendala     3 X1 +  X2     =  3
                                     4 X1 + 3 X2    ³  6
                                     X1 + 2 X2     £  4
                                          X1 , X2    ³  0

Tahap 1 :
Bentuk dengan var buatan : R1 dan R2
Min  r  =  R1 + R2
                   Kendala     3 X1 +  X2                  + R1                                       =  3
                                   4 X1 + 3 X2  - X3                   - R2                     =  6
                                                X1 + 2 X2                                                 + X4     =  4
                                                    X1 , X2 ,  X3 , R1 , R2 , X4    ³  0

Fungsi tujuan   r  =  R1 + R2
                            =  ( 3 – 3 X1 -  X2          ) + ( 6 - 4 X1 - 3 X2  + X3  )
                            =  -7 X1  -  4 X2   +   X3   +   9         
      Tabel Awal
VB
X1
X2
X3
R1
R2
X4
NK
r
7
4
-1
0
0
0
9
R1
3
1
0
1
0
0
3
R2
4
3
-1
0
1
0
6
X4
1
2
0
0
0
1
4

Tabel optimum : setelah 2 iterasi ( periksa ! )
VB
X1
X2
X3
R1
R2
X4
NK
r
0
0
0
-1
-1
0
0
X1
1
0
1/5
3/5
-1/5
0
3/5
X2
0
1
-3/5
-4/5
3/5
0
6/5
X4
0
0
1
1
-1
1
1

Karena minimum solusi r = 0, masalah ini memiliki pemecahan ( solusi ) layak. Lanjutkan ke tahap ( Fase ) kedua.
Tahap 2
F Menyingkirkan variabel buatan ( R1 dan R2 )
F Dari tabel optimum tahap 1 didapatkan :
 X1 +  1/5X3                  =  3/5
 X2 -  3/5X3                  =  6/5
 X3 +  X4                       =  1
            Masalah semula ditulis :
                                    Min  Z  =  4 X1 +  X2 
 Kendala     X1 +  1/5X3                                =  3/5                   ......... ( 1 )
       X2 -  3/5X3                                    =  6/5                   ......... ( 2 )
       X3 +  X4                                            =  1
       X1 , X2 ,  X3 , R1 , R2 , X4    ³  0

            Maka terdapat 3 persamaan dan 4 variabel sehingga solusi dasar layak didapat dg membuat      (4 – 3) = 1 variabel dibuat nol
            X3  =  0                         ->         X1  =  3/5  ;  X2  =  6/5  ;  X4  =  1

F Fungsi tujuan  Z  =  4 X1 +  X2 
   =  4 (  3/5 +  1/5 X3  ) + (6/5  +  3/5X3 )
   =  - 1/5 X3   +  18/5
            Tabel Awal
            Var msk
VB
X1
X2
X3
X4
NK
Z
0
0
1/5
0
18/5
X1
1
0
1/5
0
3/5
X2
0
1
-3/5
0
6/5
X4
0
0
1
1
1









    
Tabel optimum
VB
X1
X2
X3
X4
NK
Z
0
0
0
-1/5
17/5
X1
1
0
0
-1/5
2/5
X2
0
1
0
3/5
9/5
X3
0
0
1
1
1

           




Diposting oleh di 1 komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)